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１．一見して難しく思える問題に素早く解答することができるようになる。

２．完璧な裏付けを得るよりかなり以前に、それが正しいことに確信を持てる。（特に幾何学の分野で顕著）

３．研究している課題への深い理解を持っていないと感じることに満足できる。（深い理解があるなら問題が解決したということだから、他のことをすべき）

４．問題への直観的思考が、生産性の高い、目的に合わせて構造化された状態になり、あてどなく迷って時間を無駄にすることが少なくなる。

５．新しいことを理解しようとするとき、簡単に思いつく非常にシンプルな事例に反射的に意識が向く。そして、その事例についての直観を、より良い洞察へと導くのに利用する。

６．非数学者の数学者への最大の誤解は、問題を一挙に解決する神秘的な知的能力があるというものである。

７．「高く高く」抽象化できるようになる。昨日の主要研究対象が、今日考えることの一例や一部分にすぎなくなる。

８．他のテーマの特に「抽象的」または「技術的」な部分をとても身近に思えるようになる。それらを自分の知る数学へと要約できるからである。たいていの量的な発想や技術を学習する能力に自信を持つことができる。

９．一見全く異なる複数の問題表現方法の間を容易に行き来できるようになる。

１０．最高の道具のおかげで、乱雑な計算や冗長で個別的な議論を避けるようになる。どうしてもやむを得ない場合を除いて。

１１．特定の難題の解決ではなく、困難な数百もの問いを結びつける強力で一般的な着想の方を、感覚的に選り好みするようになる。

１２．抽象的なものへの理解や、何かが真であるとの証明が、何かを構築するような作業になってくる。

１３．セミナーを聴いたり論文を読んでいるときに、以前ほどには行き詰まらなくなる。

１４．ある新種の抽象概念について考えるにあたって、論点や手がかりを自ら生成することができるようになる。

１５．定量的で論理的なことを話すにあたって、不正確な事柄にイライラしやすくなる。

１６．他方、自分が知る領域における意図的な不正確さや”hand waving”を心地良く感じるようになる。自分で詳細を補うことができるからである。

１７．自分の知識に謙虚になる。なぜなら、数学がどれだけ無力であるかに気づき、また、たいていの問題は不合理であるという事実に満足できるからである。